1 4 proste ruchome średnie

Średnie kroczące Średnie kroczące W konwencjonalnych zestawach danych średnia wartość jest często pierwszą i jedną z najbardziej użytecznych statystyk do obliczenia. Gdy dane mają postać szeregów czasowych, średnia serii jest użyteczną miarą, ale nie odzwierciedla dynamicznej natury danych. Średnie wartości obliczane w okresach zwartych, poprzedzających bieżący okres lub wyśrodkowane w bieżącym okresie, są często bardziej użyteczne. Ponieważ takie średnie wartości będą się różnić lub przesuwać, ponieważ bieżący okres zmienia się z czasu t2, t3 itd. Są one znane jako średnie ruchome (Mas). Prosta średnia krocząca jest (zazwyczaj) nieważoną średnią z poprzednich wartości. Wyliczana wykładniczo średnia ruchoma jest zasadniczo taka sama jak zwykła średnia ruchoma, ale z wkładem do średniej ważonej przez ich bliskość do bieżącego czasu. Ponieważ nie ma jednej, ale całej serii ruchomych średnich dla dowolnej serii, zbiór Masów można sami nanosić na wykresy, analizować jako serię i stosować w modelowaniu i prognozowaniu. Szereg modeli można skonstruować za pomocą średnich kroczących i są one znane jako modele MA. Jeśli takie modele są połączone z modelami autoregresyjnymi (AR), uzyskane modele kompozytowe są znane jako modele ARMA lub ARIMA (I jest zintegrowane). Proste wartości ruchome Ponieważ szeregi czasowe można traktować jako zestaw wartości, t 1,2,3,4, n można obliczyć średnią tych wartości. Jeśli przyjmiemy, że n jest dość duże i wybieramy liczbę całkowitą k, która jest znacznie mniejsza niż n. możemy obliczyć zestaw średnich bloków lub prostych średnich ruchomych (rzędu k): Każda miara reprezentuje średnią wartości danych w przedziale k obserwacji. Zauważ, że pierwszym możliwym MA porządku k gt0 jest ten dla t k. Bardziej ogólnie możemy upuścić dodatkowy indeks dolny w wyrażeniach powyżej i napisać: Stwierdza on, że szacowana średnia w czasie t jest prostą średnią obserwowanej wartości w czasie t i poprzednich stopniach k-1. Jeśli stosuje się wagi, które zmniejszają udział obserwacji, które są dalej w czasie, średnia ruchowa ma być wykładniczo wygładzona. Średnie kroczące są często stosowane jako forma prognozowania, przy czym szacowana wartość dla serii w czasie t1, S t1. jest uznawany za IZ na okres do czasu t włącznie. na przykład Współczesne szacunki opierają się na średniej z uprzednio zarejestrowanych wartości, do wczoraj włącznie (dla danych dziennych). Proste średnie ruchome mogą być postrzegane jako forma wygładzania. W przedstawionym poniżej przykładzie zbiór danych zanieczyszczenia powietrza przedstawiony we wstępie do tego tematu został powiększony o 7-dniową średnią ruchomą (MA), pokazaną tutaj na czerwono. Jak widać, linia MA wyrównuje wartości szczytowe i spadki w danych i może być bardzo pomocna w identyfikowaniu trendów. Standardowa formuła obliczania do przodu oznacza, że ​​pierwsze punkty danych k-1 nie mają wartości MA, ale następnie obliczenia rozciągają się do końcowego punktu danych w serii. Średnie wartości dzienne PM10, źródło Greenwich: London Air Quality Network, londonair. org. uk Jednym z powodów obliczania prostych średnich ruchomych w opisany sposób jest to, że umożliwia obliczenie wartości dla wszystkich przedziałów czasowych od czasu tk do chwili obecnej, oraz gdy nowy pomiar zostanie uzyskany dla czasu t 1, MA dla czasu t 1 można dodać do zestawu już obliczonego. Zapewnia to prostą procedurę dla dynamicznych zestawów danych. Istnieją jednak pewne problemy z tym podejściem. Uzasadnione jest twierdzenie, że średnia wartość z ostatnich 3 okresów powinna być zlokalizowana w czasie t -1, a nie w czasie t. a dla IZ przez parzystą liczbę okresów być może powinna być zlokalizowana w środkowym punkcie między dwoma przedziałami czasowymi. Rozwiązaniem tego problemu jest zastosowanie wyśrodkowanych obliczeń MA, w których MA w czasie t jest średnią z symetrycznego zbioru wartości wokół t. Pomimo oczywistych zalet, takie podejście nie jest powszechnie stosowane, ponieważ wymaga, aby dane były dostępne dla przyszłych zdarzeń, co może nie być prawdą. W przypadkach, w których analiza dotyczy wyłącznie istniejącej serii, preferowane może być użycie wyśrodkowanego Mas. Proste średnie ruchome można uznać za formę wygładzania, usuwając niektóre komponenty o wysokiej częstotliwości z szeregów czasowych i podkreślając (ale nie usuwając) trendy w sposób podobny do ogólnego pojęcia filtrowania cyfrowego. Rzeczywiście, średnie ruchome są formą filtra liniowego. Możliwe jest zastosowanie obliczenia średniej ruchomej do serii, która została już wygładzona, to jest wygładzanie lub filtrowanie już wygładzonej serii. Na przykład, przy średniej ruchomej rzędu 2, możemy uznać ją za obliczoną przy użyciu wag, więc MA na x 2 0,5 x 1 0,5 x 2. Podobnie, MA na x 3 0,5 x 2 0,5 x 3. zastosuj drugi poziom wygładzania lub filtrowania, mamy 0,5 x 2 0,5 x 3 0,5 (0,5 x 0,5 x 2) 0,5 (0,5 x 2 0,5 x 3) 0,25 x 1 0,5 x 2 0,25 x 3 tj. 2-stopniowe filtrowanie proces (lub splot) wytworzył zmiennie ważoną symetryczną średnią ruchomą, z wagami. Wielokrotne zwoje mogą dawać dość złożone ważone średnie ruchome, niektóre z nich zostały znalezione o szczególnym zastosowaniu w wyspecjalizowanych dziedzinach, takich jak w obliczeniach ubezpieczeń na życie. Średnie kroczące mogą być stosowane do usuwania efektów okresowych, jeśli są obliczane na podstawie długości okresowości jako znanej. Na przykład z miesięcznymi danymi sezonowe odchylenia mogą być często usuwane (jeśli jest to cel) przez zastosowanie symetrycznej 12-miesięcznej średniej kroczącej z wszystkimi miesiącami ważonymi równo, z wyjątkiem pierwszego i ostatniego, które są ważone przez 12. Dzieje się tak, ponieważ mieć 13 miesięcy w modelu symetrycznym (obecny czas, t. - 6 miesięcy). Suma jest podzielona przez 12. Podobne procedury można zastosować dla każdej dobrze określonej okresowości. Wykładniczo ważone średnie ruchome (EWMA) Za pomocą prostej średniej ruchomej: wszystkie obserwacje są jednakowo ważone. Gdybyśmy nazwali te równe wagi, alfa t. każdy z wag k wynosiłby 1 k. więc suma wag wynosiłaby 1, a formuła byłaby: Widzieliśmy już, że wiele aplikacji tego procesu powoduje, że waga jest różna. W przypadku średnich ważonych ruchami wykładniczymi, udział w wartości średniej z obserwacji, które są bardziej usuwane w czasie, jest zmniejszany, co uwydatnia nowsze (lokalne) zdarzenia. Zasadniczo wprowadzono parametr wygładzania, 0lt alfa1, a wzór zmieniono na: Wersja symetryczna tego wzoru miałaby postać: Jeżeli wagi w modelu symetrycznym są wybrane jako warunki warunków dwumianowego rozszerzenia, (1212) 2q. będą sumowane do 1, a gdy q stanie się duża, przybliżą się do rozkładu normalnego. Jest to forma ważenia jądra, z dwumianem działającym jako funkcja jądra. Dwustopniowe splatanie opisane w poprzednim podrozdziale jest właśnie tym układem, z q 1, co daje wagi. W wygładzaniu wykładniczym konieczne jest użycie zbioru wag, które sumują się do 1 i które geometrycznie zmniejszają rozmiar. Użyte wagi mają zazwyczaj postać: Aby pokazać, że te wagi sumują się do 1, rozważ rozszerzenie 1 jako serię. Możemy napisać i rozwinąć wyrażenie w nawiasach za pomocą dwumianowej formuły (1- x) p. gdzie x (1-) i p -1, co daje: To zapewnia formę ważonej średniej ruchomej formy: To sumowanie można zapisać jako relację powtarzalności: co znacznie upraszcza obliczenia i unika problemu, że system ważenia powinno być bezwzględnie nieskończone, aby ciężary sumowały się do 1 (dla małych wartości alfa, zazwyczaj tak nie jest). Notacja stosowana przez różnych autorów jest różna. Niektórzy używają litery S, aby wskazać, że formuła jest zasadniczo zmienną wygładzoną i piszą: podczas gdy literatura z dziedziny teorii sterowania często używa Z zamiast S dla wykładniczo ważonych lub wygładzonych wartości (patrz, na przykład, Lucas i Saccucci, 1990, LUC1 oraz na stronie internetowej NIST po więcej szczegółów i opracowanych przykładów). Wymienione wyżej wzory wywodzą się z pracy Roberta (1959, ROB1), ale Hunter (1986, HUN1) używa wyrażenia formy: która może być bardziej odpowiednia do użycia w niektórych procedurach kontrolnych. W przypadku alfa 1 średnia wartość szacunkowa jest po prostu wartością zmierzoną (lub wartością poprzedniego elementu danych). Przy 0,5 oszacowanie to prosta średnia krocząca z bieżących i poprzednich pomiarów. W modelach prognostycznych wartość S t. jest często używana jako wartość szacunkowa lub prognozowana dla następnego okresu czasu, tj. jako szacunek dla x w czasie t 1. Mamy więc: Pokazuje to, że wartość prognozy w czasie t1 jest kombinacją poprzedniej wykładniczo ważonej średniej kroczącej plus składnik reprezentujący błąd ważonej prognozy, epsilon. w czasie t. Zakładając, że szereg czasowy jest podany, a prognoza jest wymagana, wymagana jest wartość alfa. Można to oszacować na podstawie istniejących danych, oceniając sumę kwadratów uzyskanych z predykcji z różnymi wartościami alfa dla każdego t 2,3. ustawienie pierwszego oszacowania jako pierwszej obserwowanej wartości danych, x 1. W aplikacjach kontrolnych wartość alfa jest ważna, ponieważ jest używana do określania górnej i dolnej granicy kontrolnej i wpływa na średnią oczekiwaną długość trasy (ARL) przed przekroczeniem tych granic kontrolnych (przy założeniu, że szeregi czasowe reprezentują zbiór losowych, identycznie rozłożonych zmiennych niezależnych o wspólnej wariancji). W tych okolicznościach wariancja statystyki kontrolnej to (Lucas i Saccucci, 1990): Granice kontrolne są zwykle ustalane jako stałe wielokrotności tej asymptotycznej wariancji, np. - 3 razy odchylenie standardowe. Jeśli na przykład alfa 0,25 i monitorowane dane mają rozkład normalny, N (0,1), gdy kontrolowane, limity kontroli będą - 1.134, a proces osiągnie jeden lub inny limit w 500 krokach średnio. Lucas i Saccucci (1990 LUC1) wyprowadzają poziomy ARL dla szerokiego zakresu wartości alfa i przy różnych założeniach, stosując procedury Markowa Chain. Tabele przedstawiają wyniki, w tym dostarczają ARL, gdy średnia z procesu kontroli została przesunięta o kilka wielokrotności odchylenia standardowego. Na przykład z przesunięciem 0,5 z parametrem alfa 0,25 wartość ARL jest mniejsza niż 50 kroków czasowych. Podejścia opisane powyżej są znane jako wygładzanie pojedynczego wykładniczego. ponieważ procedury są stosowane jednorazowo w szeregach czasowych, a następnie przeprowadza się analizy lub procesy kontrolne na wynikowym wygładzonym zbiorze danych. Jeśli zbiór danych zawiera trend i składniki sezonowe, można zastosować dwu - lub trójstopniowe wygładzanie wykładnicze jako środek do usuwania (jawnego modelowania) tych efektów (patrz dalej, sekcja na temat Prognozowania poniżej i przykład działania NIST). CHA1 Chatfield C (1975) Analiza szeregów czasowych: Teoria i praktyka. Chapman and Hall, Londyn HUN1 Hunter J S (1986) Wykładniczo ważona średnia ruchoma. J of Quality Technology, 18, 203-210 LUC1 Lucas J M, Saccucci M S (1990) Treść wykładnicza o średniej ważonej wykładniczej: Właściwości i ulepszenia. Technometrics, 32 (1), 1-12 ROB1 Roberts S W (1959) Testy kart kontrolnych oparte na geometrycznych średnich ruchomych. Technometrics, 1, 239-2506.2 Średnie ruchome 40 szt., Kolejność 5 41 W drugiej kolumnie tej tabeli pokazana jest średnia ruchoma rzędu 5, dostarczająca oszacowania cyklu trendu. Pierwsza wartość w tej kolumnie jest średnią z pierwszych pięciu obserwacji (1989-1993), druga wartość w kolumnie 5-MA jest średnią z wartości 1990-1994 i tak dalej. Każda wartość w kolumnie 5-MA jest średnią z obserwacji w pięcioletnim okresie wyśrodkowanym na odpowiedni rok. Nie ma wartości dla pierwszych dwóch lat lub ostatnich dwóch lat, ponieważ nie mamy dwóch obserwacji po żadnej ze stron. W powyższym wzorze kolumna 5-MA zawiera wartości hat z k2. Aby zobaczyć, jak wygląda oszacowanie cyklu trendu, kreślimy go wraz z oryginalnymi danymi na rysunku 6.7. działka 40 elecsales, główna ofertaResialna sprzedaż energii elektrycznej, ylab quotGWhquot. xlab quotYak 41 linii 40 ma 40 elecsales, 5 41. col quotitedquot 41 Zauważ, że trend (na czerwono) jest gładszy niż oryginalne dane i przechwytuje główną część szeregu czasowego bez wszystkich drobnych fluktuacji. Metoda średniej ruchomej nie pozwala na oszacowanie T, gdzie t jest zbliżone do końców serii, dlatego czerwona linia nie rozciąga się na krawędzie wykresu po obu stronach. Później wykorzystamy bardziej wyrafinowane metody estymacji trend-cycle, które pozwalają na oszacowanie w pobliżu punktów końcowych. Kolejność średniej kroczącej określa gładkość oszacowania cyklu trendu. Ogólnie rzecz biorąc, większe zamówienie oznacza płynniejszą krzywą. Poniższy wykres pokazuje wpływ zmiany kolejności średniej ruchomej na dane dotyczące sprzedaży energii elektrycznej. Proste średnie ruchome, takie jak te, są zwykle nieparzyste (np. 3, 5, 7, itd.). Są więc symetryczne: w ruchomej średniej rzędu m2k1, istnieją k wcześniejsze obserwacje, k późniejsze obserwacje i środkowa obserwacja uśrednione. Ale jeśli m był równy, nie byłby już symetryczny. Średnie kroczące średnich kroczących Możliwe jest zastosowanie średniej kroczącej do średniej kroczącej. Jednym z powodów tego jest symetryczna średnia ruchoma rzędu parzystego. Na przykład możemy wziąć średnią ruchomą z rzędu 4, a następnie zastosować kolejną średnią ruchomą rzędu 2 do wyników. W tabeli 6.2 dokonano tego w pierwszych latach kwartalnych danych dotyczących produkcji piwa w Australii. beer2 lt-window 40 ausbeer, start 1992 41 ma4 lt 40 piwa2, rząd 4. centrum FALSE 41 ma2x4 lt 40 40 piwo2, rząd 4. centrum PRAWDA 41 Zapis 2 x 4-MA w ostatniej kolumnie oznacza 4-MA a następnie 2-MA. Wartości w ostatniej kolumnie uzyskuje się, biorąc średnią ruchomą rzędu 2 wartości z poprzedniej kolumny. Na przykład dwie pierwsze wartości w kolumnie 4-MA to 451,2 (443410420532) 4 i 448.8 (410420532433) 4. Pierwsza wartość w kolumnie 2times4-MA to średnia z tych dwóch wartości: 450,0 (451,2444,2.8) 2. Kiedy 2-MA podąża za ruchomą średnią rzędu parzystego (np. 4), nazywa się to środkową średnią ruchomą rzędu 4. Dzieje się tak dlatego, że wyniki są teraz symetryczne. Aby to zobaczyć, możemy napisać 2times4-MA w następujący sposób: rozpocząć hat amp frac Bigfrac (y y y y) frac (y y y y) Duży wzmacniacz frac y frac14y frac14y frac14y frac18y. koniec Jest to obecnie ważona średnia obserwacji, ale jest symetryczna. Możliwe są również inne kombinacje średnich kroczących. Na przykład często stosuje się 3 razy 3-MA i składa się z ruchomej średniej z rzędu 3, po której następuje kolejna średnia ruchoma z rzędu 3. Zasadniczo MA porządku zgodnego z porządkiem powinno poprzedzać MA uporządkowania parzystego, aby uczynić je symetrycznymi. Podobnie po MA w porządku nieparzystym powinno następować MA porządku nieparzystego. Oszacowanie cyklu trendu za pomocą danych sezonowych Najczęstszym zastosowaniem wyśrodkowanych średnich kroczących jest oszacowanie cyklu trendu na podstawie danych sezonowych. Rozważmy 2times4-MA: hat frac y frac14y frac14y frac14y frac18y. Po zastosowaniu do danych kwartalnych, każdy kwartał roku ma taką samą wagę, jak pierwsze i ostatnie warunki mają zastosowanie do tego samego kwartału w kolejnych latach. W konsekwencji zmienność sezonowa zostanie uśredniona, a wynikające z niej wartości t będą nieznacznie zmienione lub nie ulegną zmianie sezonowej. Podobny efekt można uzyskać stosując 2 razy 8-MA lub 2 razy 12-MA. Zasadniczo, 2 razy m-MA jest równoważne ważonej średniej ruchomej rzędu m1, przy czym wszystkie obserwacje przyjmują wagę 1m, z wyjątkiem pierwszych i ostatnich warunków, które przyjmują wagi 1 (2m). Więc jeśli sezonowość jest równa i rzędu m, użyj 2-krotnego m-MA do oszacowania cyklu trendu. Jeśli okres sezonowy jest nieparzysty i rzędu m, użyj m-MA do oszacowania cyklu trendu. W szczególności, można wykorzystać 2-krotne 12-MA do oszacowania cyklu trendów danych miesięcznych, a 7-MA można wykorzystać do oszacowania trendu cyklu danych dziennych. Inne wybory na zlecenie MA zazwyczaj powodują, że szacunki trendu trendu są skażone przez sezonowość danych. Przykład 6.2 Produkcja urządzeń elektrycznych Rysunek 6.9 pokazuje 2 razy 12-MA zastosowane do indeksu zamówień urządzeń elektrycznych. Zauważ, że gładka linia nie wykazuje sezonowości, jest prawie taka sama jak cykl trendu pokazany na Rysunku 6.2, który został oszacowany za pomocą znacznie bardziej wyrafinowanej metody niż średnie ruchome. Każdy inny wybór w kolejności średniej ruchomej (z wyjątkiem 24, 36 itd.) Dałby gładką linię, która wykazuje pewne wahania sezonowe. fabuła 40 elecequip, ylab quotNowy indeks zamówień. col quotrayreot, main quot Produkcja urządzeń elektrycznych (strefa euro): 41 linii 40 ma 40 elecequip, zamówienie 12 41. col quotredquot 41 Średnie ważone ruchy Kombinacje średnich ruchomych ważone średnie ruchome. Na przykład omówiony powyżej proces 2x4-MA jest równoważny ważonemu 5-MA z wagami podanymi przez frac, frac, frac, frac, frac. Ogólnie, ważony m-MA może być zapisany jako hat t sum k aj y, gdzie k (m-1) 2 i ciężary są podane przez a, kropki, jang. Ważne jest, aby wagi sumowały się do jednego i były symetryczne, tak aby aj a. Prosty m-MA to specjalny przypadek, w którym wszystkie ciężary są równe 1m. Główną zaletą ważonych średnich kroczących jest to, że dają one bardziej płynne oszacowanie cyklu trendu. Zamiast obserwacji wchodzących i wychodzących z obliczeń przy pełnej masie, ich masy są powoli zwiększane, a następnie powoli zmniejszane, co daje bardziej płynną krzywą. Niektóre specyficzne zestawy wag są szeroko stosowane. Niektóre z nich podano w Tabeli 6.3.1-4 Prosta średnia ruchoma Kiedy wykres giełdowy przedstawia średnie ruchome dla różnych przedziałów, wykres z krótszym odstępem czasu jest znany jako szybko zmieniająca się średnia, ponieważ zmiany cen zamknięcia występują w ciągu dnia. Na dzień dzisiejszy szybko zmieniająca się średnia szybko odzwierciedli te zmiany szybciej niż średnia wolna. Kiedy wykres giełdowy przedstawia średnie ruchome dla dwóch różnych przedziałów czasowych, wykres z dłuższym przedziałem czasowym nazywany jest średnią ruchomą, jako zmiany w zamknięciu. ceny pojawiają się na co dzień, szybka średnia ruchowa odzwierciedli te zmiany szybciej niż wolna średnia ruchoma